Teorema de Bolzano: ¿Qué es, para qué sirve y cómo aplicarlo?

Aplicación del Teorema de Bolzano

Teorema de Bolzano

Toda la información que necesitas sobre el Teorema de Bolzano

Conocer los diversos teoremas y cálculos matemáticos no es para cualquiera. Si no estás metido en el mundo ni eres muy amante de los números, hacer esto se puede volver un trabajo muy, pero muy pesado y complicar tu TFG, TFM o tesis doctoral (TD). En este artículo te explicaremos qué es, te contaremos la historia, demostraremos y daremos ejemplos sobre lo más relevante acerca del Teorema de Bolzano. 

¿Qué es el Teorema de Bolzano? 

Teorema de Bolzano

El Teorema de Bolzano es una hipótesis matemática que se utiliza para trazar los gráficos de funciones continuas que se definen sobre un intervalo de dos ejes. Por medio del mismo, se puede demostrar o probar que existen soluciones en ecuaciones de funciones continuas y reales. Eso dentro de intervalos con valores positivos y negativos. Es de los modelos más aplicados para hallar la solución de varias ecuaciones.

La tesis que sustenta el Teorema de Bolzano sostiene que, en algún momento del intervalo, la función se anula. Uno de los requisitos que debe cumplir el teorema es que los signos deben ser contrarios. No obstante, para ello también debes conocer la ley de los signos. 

¿Qué es una función continua y real? 

Una función continua es, básicamente, cuando en un gráfico puedes realizar una representación gráfica de un solo trazo, sin levantar el lápiz. 

Por su parte, una función real consiste en una función perteneciente a la variable real, es decir, compuesta por números reales (representados por la letra R). Un ejemplo de función real es: 

F: f(x) R –> R

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Un poco de historia 

Este famoso teorema fue establecido por el matemático y filósofo checo Bernhard Bolzano. Fue reconocido por sus grandes aportes dentro de ambos campos de estudio. Habiendo desarrollado su carrera filosófica en la Universidad de Praga, donde nació. 

Bolzano tuvo una historia interesante y, en parte, similar a lo ocurrido con el físico, astrónomo y matemático italiano Galileo Galilei, aunque sin compartir su mismo y brutal final. Durante un momento muy transcendental de su vida como profesional, se lo acusó de profesar ideas contrarias a la religión y política existente en ese momento. Se comenzó a censurar a todas sus obras. 

A causa de ello, sus obras no causaron la repercusión que si tuvieron años después. De hecho, fue muy criticado por la comunidad en sus años de vida. Al final, muchos años después, sus postulados y teorías fueron utilizados por otros intelectuales para desarrollar modelos, hipótesis y teoremas. Entre los intelectuales más reconocidos, se destacan: Weierstrass y Cantor.

Enunciado del Teorema de Bolzano 

Su enunciado, literal, es el siguiente: 

“Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de distinto signo en los extremos a y b, entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) en el que se anula la función.”

Es decir, explicado de una manera más simplificada, significa que en toda función continua de intervalo cerrado con distintos valores (A y B) existe un punto (C), ubicado en el intervalo abierto, que anula la función, es decir, que es igual a 0. Esa unión entre los puntos A y B se ubica en el eje X, o, mejor dicho, en algún punto de ese eje.

Los intervalos abiertos se representan entre “()” y los cerrados con “[]”.

¿Cómo aplicar el Teorema de Bolzano? 

Supongamos que tienes la función F(x) = x³ + x − 1 y la igualas a 0 (=0). Esta función, al ser polinómica, es continua y como resultado presenta un intervalo abierto entre los valores 0 y 1 (0,1). 

  • Punto A: f (0) = -1 < 0
  • Punto B: f (1) = 1 > 0
  • Punto C: f (c) = 0

Puedes conocer que en el lado negativo se determina que el punto A f (0) = -1< (eje inferior x) mientras que en la parte de arriba (lado positivo) se cumple que f (1) = 1>0, que es el punto B. Entonces, con esos datos y en base a lo que se establece con el Teorema de Bolzano, puedes determinar que el famoso punto C que buscabas se encuentra en 0, es decir, f(c) = 0. 

Ejemplo de gráfico del Teorema de Bolzano

A continuación, te mostraremos un ejemplo detallado y gráfico del Teorema de Bolzano:

Teorema de Bolzano
Imagen extraída de https://www.teorema.top/teorema-de-bolzano/

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