Teorema de Steiner: ¿Qué es, para qué sirve y cómo aplicarlo?

Explicación y aplicaciones del Teorema de Steiner

Teorema de Steiner

¿Necesitas ayuda para comprender cómo funciona adecuadamente el Teorema de Steiner?

Si te encuentras cursando alguna carrera de estadística o con injerencia en las matemáticas, de seguro deberás saber qué es, para qué sirve y la aplicación del Teorema de Steiner en tu TFG, TFM o tesis doctoral, hemos preparado este post. ¡Continúa leyendo para más detalles!

¿Qué es y para qué sirve el Teorema de Steiner? 

Teorema de Steiner

El Teorema de Steiner, también conocido como Teorema de los Ejes Paralelos, es una fórmula, afirmación o preposición matemática. Se encarga de establecer una evaluación precisa sobre el momento de inercia de un cuerpo extendido por el eje paralelo. 

Su desarrollador fue el matemático sueco Jakob Steiner (1796-1863), quien afirmaba que el ICM (el momento de inercia de un objeto) en relación al eje que pasa por el centro de masa de CM e Iz (momento de inercia del otro eje paralelo). En breve te comentaremos más sobre el momento de inercia, ¡así que continúa leyendo nuestro post!

Entonces, se considera que la distancia D (variable) es la que separa a ambos ejes y la masa (M) del cuerpo. Entonces, en definitiva, se sabe que el momento de inercia está representado con la fórmula: 

Iz = ICM + MD2

Esto te será muy necesario porque el momento de inercia es el que se encargará de indicar si es sencillo para un objeto determinado poder rotar alrededor de un eje. Además, debes tener en cuenta que esto no depende únicamente de la masa del cuerpo, también de la forma en que esta se distribuye. Por ese motivo, se le conoce como inercia rotacional, mediante el uso de las medidas y unidades.

Debes utilizar el Teorema de Steiner para poder demostrar que el momento de inercia Iz siempre va a ser mayor que el de ICM dentro de la cantidad dada por MD2.

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¿Qué es la inercia rotacional?

La inercia rotacional es la propiedad que permite a cualquier objeto girar. Se caracteriza por ser un valor escalar, lo que indica que tan difícil es cambiar la velocidad de rotación de un objeto en un determinado eje de rotación.

¿Qué es el momento de inercia?

Ahora bien, el momento de inercia es una medida que permite calcular la inercia rotacional de un cuerpo. En el caso de materiales rígidos y solidos con una geometría simple, se puede calcular de una forma fácil en el momento en que el eje de rotación coincide con el de simetría. 

Los cálculos para realizar al momento de inercia sobre un eje arbitrario puede ser complejos, independientemente de si es un objeto sólido con buena simetría. Cuando se llegue a un radio de guro k y este representa a una bien definida cantidad física, se cumple que: 

I = M K2

En esa fórmula, puedes ver claramente que M representa la masa del cuerpo rígido. El radio de giro representa la distancia entre el eje en el que se centra la masa del cuerpo sin que deba variar por la inercia. Puede determinarse esta cantidad en cuerpos que posean una distribución de masa homogénea. 

Entonces, puedes determinar que el Teorema de Steiner es utilizado para la simplificación de cálculos. Una vez que conozcas la inercia con respecto al eje que cruza el centro de la masa, puedes saber el momento de inercia que haya con otro eje que sea paralelo al primero.  

Si nos referimos a un objeto plano, el momento de la inercia sobre el eje perpendicular puede ser obtenido por medio de la suma de otros momentos de inercia en los ejes paralelos en el cruce del plano y objetivo. En definitiva, el uso de este teorema es clave para la obtención de datos y el armado de los momentos de inercia. A continuación, te explicaremos cómo es la aplicación de Teorema de Steiner. 

Aplicación del Teorema de Steiner 

Teorema de Steiner

Gracias al uso del Teorema de Steiner, puedes ver cómo es que un objetivo puede ir rotando sobre diferentes ejes. En las tablas, se puede observar el momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centroide. El teorema puede utilizarse para hacer cálculos en el momento en el que es requerido el giro de los cuerpos sobre ejes que no coincidan con este. 

Un claro ejemplo de esto es una puerta, que, en su gran mayoría, no giran sobre su eje cuando se abren. Más bien, se mueven por un eje lateral por el uso de las bisagras. Entonces, al poder saber con exactitud el momento de inercia se hace mucho más fácil poder calcular la energía cinética (energía de movimiento) que es utilizada en la rotación sobre dicho eje. 

Ahora bien, si tienes que k es la energía cinética, entonces l es el momento de inercia de eje. La letra w representa la velocidad angular. De este modo se puede ver que: 

K = ½ I.ω2

Como bien puedes observar, la ecuación es muy parecida a la fórmula que mide la energía cinética (Ec = ½ . m . v2) de un objetivo de masa (M) que se mueve a una velocidad (v): K =1 ⁄ 2 M.v2. Donde I es el momento de inercia rotacional que se encarga de cumplir el mismo papel en la rotación que la masa M en traslación.

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